1 橢圓曲線(xiàn)擬合的砂輪修形原理在刃磨螺旋槽滾刀時(shí)，砂輪的磨削面會(huì )與滾刀的前刀面發(fā)生干涉，使磨削出的滾刀前刀面出現畸變，呈中凸形，從而使加工出來(lái)的齒輪齒形畸變，節線(xiàn)附近出現中凹，無(wú)法正常嚙合，因此，在刃磨大螺旋槽滾刀時(shí)，必須用相應的砂輪修形裝置來(lái)對砂輪的磨削面進(jìn)行正確修形。
磨削大螺旋角滾刀時(shí)的嚙合線(xiàn)是一條十分復雜的空間曲線(xiàn)(嚙合方程見(jiàn)參考文獻[1])，反映出的砂輪軸截形也十分復雜，通常難以用顯式函數予以描述，只能通過(guò)求解嚙合方程得到砂輪軸截形的數值解，即用一系列點(diǎn)的坐標描述:{Mi(xi，yi):i=1，2，… n}。 從相關(guān)文獻的計算結果來(lái)看，盡管砂輪軸截形的曲線(xiàn)復雜，但十分光滑，在整個(gè)工作區段內曲率呈均勻連續變化，無(wú)尖點(diǎn)、無(wú)突變，呈中凸形。砂輪的軸截形與滾刀參數、砂輪直徑密切相關(guān)，不同的滾刀、砂輪有不同的砂輪軸截形，因此，必須有一種砂輪修形裝置能對不同的滾刀砂輪進(jìn)行調整。
鑒于這種情況，我們利用“橢圓曲線(xiàn)擬合”的方法設計了如圖1所示的砂輪修形儀，進(jìn)口機床AGW482 就是利用該方法來(lái)對砂輪進(jìn)行修形的，這里我們針對國產(chǎn)機床進(jìn)行了改進(jìn)。 為所設計修形儀的結構原理圖。廓形塊上面有一下凹的圓弧面r，當廓形塊繞自身軸線(xiàn)y1轉過(guò)一個(gè)角度α(由量塊或游標卡尺測量距離E1)時(shí)，相當于平面斜截圓弧面，形成橢圓曲線(xiàn)f(x，y)。
廓形塊下有一托盤(pán)，可帶動(dòng)廓形塊繞軸線(xiàn)z1轉過(guò)一個(gè)角度β(由量塊或游標卡尺測量距離E3)，相當于改變橢圓相對于砂輪截形的傾角。支架可帶動(dòng)廓形塊沿x1方向移動(dòng)，位置由量塊或游標卡尺測量距離E2?？磕Ｂ葆斂晌⒄{橢圓相對于砂輪磨削面的高低位置由E4決定。 為方便研究，建立如圖2所示的坐標系。σ(oxy)為砂輪軸截形坐標系，σ1(o1-x1y1)為橢圓坐標系，原點(diǎn)o1在σ(o-xy)的坐標為(x0，y0)。
利用坐標變換可得到橢圓在砂輪軸截形坐標系σ(o-xy)中的方程為: f(x，y)=[(x-x0)sinβ-(y-y0)cosβ]2sin2α+[(y-y0)sinβ-(x-x0)cosβ]2-r2=0 (1) 由于r值對橢圓形狀影響較大，我們做了三個(gè)廓形塊(快換，分別加工成不同圓弧面)以供選擇，r=30，45，60mm。這樣只要E1、E2、E3、E4、r五個(gè)參量選得合適，就能獲得一條與砂輪軸截形擬合度較高的橢圓曲線(xiàn)段來(lái)對砂輪進(jìn)行修形。
2 修形儀調整參數的優(yōu)化計算要確定橢圓方程(1):f(x，y)，需要給定一組{α，β，x0，y0，r}值，問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到一組{α，β，x0，y0，r}值，使橢圓曲線(xiàn)f(x，y)與砂輪軸截形曲線(xiàn)(即理論廓形:{Mi(xi，yi):i=1，2，… n})間的誤差最小，在這里引入了下列優(yōu)化設計方法。 2.1 修形儀調整參數的優(yōu)化模型選取{α，β，x0，y0，r}為設計變量:X =[α，β，x0，y0，r]T，修形儀調整參數{E1，E2，E3，E4}由橢圓的形狀及位置參數{α，β，x0，y0，r}計算得到。當把砂輪軸截形曲線(xiàn)若干離散點(diǎn)的坐標{Mi(xi，yi):i=1，2，…n}代入橢圓方程(1):f(x，y)時(shí)，有剩余誤差:εi=fi(xi，yi):i=1，2，…n。
為使橢圓曲線(xiàn)與砂輪軸截形曲線(xiàn)擬合誤差(即總的剩余誤差εI)最小，可以把剩余誤差的均方差的平方和剩余誤差平方的最大值作為我們的優(yōu)化目標，即使均方差和最大偏差最小。兩者取相同的權重，則優(yōu)化的目標函數為 ?(X)= 1 n Σ i=1 (ω-&εi)2+max(ε2i) n-1 (2) 式中ω為平均誤差，ω= 1 n Σ i=1 εi n 這樣該目標函數既控制了擬合的總誤差，也可防止個(gè)別點(diǎn)出現大的偏差。 根據修形儀和機床的結構，可以建立約束函數。
2.2 程序設計及計算求解上述優(yōu)化問(wèn)題采用的是懲罰函數法(SUMT)，程序中調用了無(wú)約束優(yōu)化鮑威爾法(POWELL)。程序自動(dòng)生成罰函因子r0，經(jīng)過(guò)試算修改后可以較好地保證收斂速度和計算精度，對調整參數{E1，E2，E3，E4}的計算精度可達到0.01 ～0.001mm。
選定一把帶有螺旋容屑槽的滾刀，滾刀參數為:滾刀外徑d=158.5mm，前刀面導程H=2300mm，螺旋角θ= 10°15'47"，前刀面深T=31 mm，選取砂輪直徑D=150 mm。 計算結果如下:設計變量X =[α，β，x0，y0，r]T=[4.89，4.08，-24.09，49.39，30]T，目標函數?(X)=0.2906752，調整參數{E1，E2，E3，E4}={13.66，15.05，9.86，8.10}。
3 擬合誤差分析計算由于優(yōu)化目標函數并不能直觀(guān)地反映擬合誤差的大小、方向和分布情況，因此我們有必要對擬合誤差進(jìn)行理論分析，以檢驗所建優(yōu)化模型是否正確。由于砂輪的法向誤差對滾刀的磨削精度影響較大，同時(shí)也比較直觀(guān)，因此我們選取砂輪的法向誤差進(jìn)行分析。
3.1 法向誤差的求解過(guò)橢圓(即實(shí)際廓形)上任意一點(diǎn)Q(x'，y')作法線(xiàn)，與砂輪軸截形曲線(xiàn)(即理論廓形)交于一點(diǎn)P(xi，yi)，則該法線(xiàn)方程為 y-yi=k(x-xi) (3) 式中法線(xiàn)斜率k 可由橢圓方程(1)求出，即 k=-dx/dy (4) PQ兩點(diǎn)之間的距離即為Q 點(diǎn)的法向誤差，有 δi=± √ (xi-x')2+(yi-y')2 (5) 規定當誤差為正值時(shí)，砂輪實(shí)際點(diǎn)在理論點(diǎn)之外，為負值時(shí)實(shí)際點(diǎn)在理論點(diǎn)之內。 P(xi，yi)為{Mi(xi，yi):i=1，2，… n}上的已知點(diǎn)，由式(1)，(3)和(4)可求出法線(xiàn)與橢圓(有效段)的交點(diǎn)坐標Q(x'，y')，由式(5)可得到Q 點(diǎn)的法向誤差δi，通過(guò)比較P和Q兩點(diǎn)坐標值的大小，可以判斷法向誤差的正負。
把{Mi(xi，yi):i=1，2，…n}各點(diǎn)代入式(5)即可求得各擬合點(diǎn)的法向誤差δi，由此可直觀(guān)地看出沿徑向(砂輪廓形方向)擬合誤差的分布情況(見(jiàn)圖3)。 3.2 程序設計及計算在上述計算法向誤差的過(guò)程中，需要反復求解一個(gè)一元高次方程，為此我們編制了計算程序。由于解的區間較易確定，我們采用了二分法[3]。
對上述優(yōu)化結果進(jìn)行誤差分析，并由計算機直接輸出圖3 所示的各點(diǎn)擬合誤差的誤差分布情況。其中最大偏差δmax=0.000824mm，平均誤差ω=0.000281mm，均方根差σ=0.000359mm。
從以上誤差分析可以看出，擬合精度足以滿(mǎn)足砂輪修形的要求。 4 試驗及結論針對上述求解過(guò)程所編制的完整計算程序能對任意一把要刃磨的螺旋槽滾刀進(jìn)行計算。其程序運行過(guò)程如下:輸入滾刀參數→計算砂輪軸截形→優(yōu)化修形儀調整參數計算擬合誤差→輸出數據及圖形。
我們選取螺旋角在5～22°之間的滾刀，應用該程序進(jìn)行計算，理論上擬合誤差大都在0.01～0.001mm之間。用該修形儀對砂輪進(jìn)行修形磨刀試驗，其刃磨滾刀前刀面的實(shí)際誤差在0.02～0.07mm之間?；旧贤ㄟ^(guò)一次刃磨即能達到A 級滾刀精度的要求。 經(jīng)上述計算和試驗證明，所建模型正確，而且設計的砂輪修形儀比進(jìn)口機床AGW482修形裝置的調整參數更多，修形精度更高。
編制的調整參數計算程序能對任意一把滾刀進(jìn)行計算，通過(guò)調整修形儀修整砂輪對滾刀進(jìn)行刃磨，解決了國產(chǎn)滾刀磨床刃磨大螺旋角滾刀時(shí)砂輪修形的難題。該修形儀可用在多種滾刀磨床上，對現有國產(chǎn)機床進(jìn)行改造也不失為一種簡(jiǎn)單易行、經(jīng)濟可靠的方法。
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